turunan fungsi implisit
TUGAS MATEMATIKA
TURUNAN FUNGSI
IMPLISIT
Bentuk fungsi
terbagi menjadi 2 yaitu fungsi eksplisit (y = f(x) atau x = g(y)) dan fungsi
implisit f(x, y) = 0.
Misalkan tentukanlah turunan dari
· Fs Eksplisit ⟶ y = x2
+ 2x maka
= 2x + 2
· Fs Implisit ⟶2x2y
+ 4x – 1 = 0 maka 2x2y = -4x + 1 sehingga
Misalkan bentuk implisit x2y3 + 2xy2
– 3x + y – 1 = 0 maka y(x2y2 + 2xy + 1) – 3x – 1 = 0 maka
dirubah bentuknya menjadi
Differensial Parsial dan Differensial
Total
Definisi : dari fungsi f(x, y) = 0 yang dimaksud
1.
= turunan
parsial di f terhadap x ; selain x dianggap konstan(y dianggap konstan)
2.
= turunan parsial di f terhadap y ;
selain y dianggap konstan(x dianggap konstan)
3.
df = dx + dy
dan disebut
Differensial Parsial
df = dx + dy disebut Differensial Total
Turunan Pertama Fungsi
f(x, y) = 0 maka df = dx + dy = 0 berarti
Turunan Kedua dirumuskan :
Cara menyelesaikan soal bentuk
Differensial Total
1.
Cara I
Misalkan f(x, y) adalah fungsi 2 variabel yang bisa
diturunkan differensial total di F adalah df (x, y) = dx + dy
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari f(x, y) = 4x2y
+ 3xy3 – 2x + 1
Jawab :
Tentukan dulu nilai dari dan sehingga
didapat :
= 8xy + 3y3
– 2 dan =
4x2 + 9xy2 maka differensial totalnya adalah
df (x, y) = dx + dy
df (x, y) = (8xy + 3y3 – 2) dx + (4x2
+ 9xy2) dy
dari f(x, y) = 0
df(x , y) = d(0)
dx + dy = 0
dy = dx sehingga
2.
Cara II
- Masing – masing diturunkan terhadap x, y dianggap fungsi x (gunakan aturan rantai)
- Nyatakan dalam x dan y
Contoh : Tentukanlah turunan pertama dari x2 +
y2 = 100
Cara I :
x2 + y2 – 100 = 0
f(x,y) = x2 + y2 – 100 = 0
= 2x dan = 2y
jadi maka
=
Cara II :
x2 + y2 – 100 = 0
(x2
+ y2) = (100) dimana y fungsi x
(y2)
= (y2)
.
= 2y
2x + 2y = 0
2y = - 2x
=
TURUNAN FUNGSI
TRIGONOMETRI
Rumus – Rumus Turunan Fungsi
Trigonometri
1.
(sin x) = cos x
2.
(cos x) = - sin
x
3.
(tan x) = sec2
x
4.
(cot x) = -
cosec2 x
5.
(sec x) = sec x
. tan x
6.
(cosec x) = -
cosec x . cot x
Contoh 1 : Tentukan
turunan pertama dari y = cos3(4x5 – 2x2 + 1)
Jawab :
y = cos3(4x5 – 2x2 + 1)
= (cos(4x5 – 2x2 + 1))3
Misalkan y = U3 dengan U = cos(4x5
– 2x2 + 1)
U = cos V dengan V = 4x5 – 2x2 + 1
= . .
= 3U2 .
(- sin V) (20x4 – 4x)
= 3 cos2(4x5
– 2x2 + 1)(- sin(4x5 – 2x2 + 1))( 20x4
– 4x)
Contoh 2 : Tentukanlah
turunan pertama dari 2y2 + 4xy + sin(xy2) – 1 = 0
Jawab :
2y2 + 4xy + sin(xy2) – 1 = 0
gunakanlaah aturan rantai U.V = U’V +UV’
4y.+ 4(1 . y + x . 1.) + cos (xy2) (1.
y2 + x . 2y . ) = 0
(4y + 4x + 2xy
cos(xy2) = - 4y – y2cos (xy2)
=
Contoh 3 : Tentukanlah
turunan pertama dari y = cos (2x + y) + sin (2y – x)
Jawab :
y = cos (2x + y) + sin (2y – x)
y – cos(2x + y) – sin(2y – x) = 0
+ sin(2x
+ y) . (2 + 1. )
– cos(2y – x) . (2. - 1) = 0
+ 2 sin(2x + y)
+ sin(2x
+ y) - .
2 cos(2y – x) + cos (2y – x) = 0
(1 + sin(2x +
y) – 2 cos (2y – x)) = - 2sin (2x + y) – cos(2y – x)
=
TURUNAN FUNGSI
SIKLOMETRI
Rumus – Rumus Turunan Fungsi Siklometri
1.
(arc sin x) =
2.
(arc cos x) =
3.
(arc tan x) =
4.
(arc cot x) =
5.
(arc sec x) =
6.
(arc cosec x) =
TURUNAN FUNGSI
EKSPONENSIAL DAN LOGARITMA
1.
(alog
x) =
2.
(ln x) =
3.
(ax)
= ax ln a
4.
(ex)
= ex
Contoh 1 : Tentukanlah
turunan pertama dari y = arc +
Jawab :
y = arc +
= +
= -
= -
Contoh 2 : Tentukanlah
turunan pertama dari y = arc tan tan3 x2y3
Jawab :
y = arc tan tan3 x2y3
y = arc tan U = dimana U = tan3
x2y3 = (tan x2y3)3 = V3
dimana V = tanx2y3
V = tan W dimana W = x2y3
= . . .
=
=
=
=
Contoh 3 :
Tentukanlah turunan pertama dari arc sin (xy) + arc cos (xy2) = xy
Jawab :
arc sin (xy) + arc cos (xy2) = xy
. (1 . y + x .
1 . )
+ =
(1 . y + x . 1.)
+ . - - .= y + x .
(-- x ) = - + + y
=
Contoh 4 : Tentukanlah
turunan pertama dari
Jawab :
fungsi di atas dapat diselesaikan dengan f(x) = Þ f’(x) = maka
⟺
⟺- = 0
⟺ -
⟺ -
⟺ - =
⟺ =
⟺ =
Contoh 5 : Tentukanlah
turunan pertama dari y =
Dikerjakan mahasiswa sebagai latihan
Contoh 6 : Tentukanlah
turunan pertama dari y = 33x – 44x-1
Dikerjakan mahasiswa sebagai latihan
Jawaban Contoh 5 :
y =
y = U3 dengan U =
U = ln V dengan V =
= 3U2
. .
+
x3 . .
= 3 ln2
x3.. ( +
x3 . .
)
=
=
Jawaban Contoh 6 :
y = 33x – 44x-1
=
Kita cari satu persatu terlebih dahulu sehingga didapat :
sehingga
y’ = 3U dimana U = 3x
= 3U
ln 3 . 3 = 33x ln 3 . 3 = 33x+1 ln 3
sehingga y’ = 4U
dimana U = 4x – 1
= 4U
ln 4 . 4 = 44x-1 ln 4 . 4 = 44x-1+1 ln 4 = 44x
ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1 adalah
=
= 33x
ln 3 . 31 – 44x-1 ln 4 . 41
= 33x+1 ln 3 – 44x ln 4
Turunan Pertama dari y = 33x – 44x-1 adalah 33x+1
ln 3 – 44x ln 4
Catatan :
1. Y = xn ⟶ y’ = n.xn-1
2. Y = ax ⟶ y’ = ax ln a
3. Y = f(x)g(x) ⟶ y’ = ... ?
Penurunan Fungsi Secara Logaritmis
Y = f(x)g(x)
Contoh : Tentukan turunan pertama dari
y = sin xcos x ?
Jawab :
ln y = ln sin xcos x
ln y = cos x . ln sin x ⟹ ingat bahwa
turunan dari u.v = u’v + uv’
= - sin x . ln sin x + cos x . .
cos x
= y (- sin x .
ln sin x + )
= sin xcos x (- sin x . ln sin x + )
Turunan Fungsi Parameter
Fungsi dalam parameter ditulis :
; t parameter
Mencari turunan fungsi dalam bentuk parameter :
⟹ =
Rumus : ⟶ ⟹ Turunan pertama
Rumus : ⟹ Turunan Kedua
Contoh 1 : Tentukan dan dari
Jawab :
x = 2t2 + t maka = 4t + 1 dan = 4
y = t3 – 3t2 maka = 3t2 – 6t dan = 6t
– 6
= dan = =
Contoh 2 : Tentukan dan dari
Jawab :
x = r cos t ⟶ =
-r sin t dan =
-r cos t
y = r sin t ⟶ = r cos t
dan =
-r sin t
= =
- cot t
= =
Contoh 3 : Tentukan dari
Jawab :
x = sin (2t2 + 1) maka = cos (2t2 + 1)
. 4t = 4t cos (2t2 + 1)
=
y = ln2 t maka = 2 ln t . = 2 . ln t
=
=
=
Turunan Tingkat Tinggi
Turunan kedua dari fungsi f(x) didapatkan dengan
menurunkan sekali lagi bentuk turunan pertama. Demikian seterusnya untuk
turunan ke-n didapatkan dari penurunan bentuk turunan ke-(n – 1).
Turunan
pertama f’(x) =
Turunan
kedua f”(x) =
Turunan ketiga
f’”(x) =
Turunan
ke-n
f (n) (x) = = =
Contoh 1 : Tentukan turunan ketiga dari f(x) =
3x2 + 4x – 1
Jawab :
f’(x) = 6x + 4
f”(x) = 6
f”’(x) = 0
Contoh 2 : Tentukan turunan dari
fungsi parameter berikut
Jawab :
= =
= = =
Contoh 3 : Tentukan turunan dari
fungsi parameter berikut
Jawab :
= =
= =
-18t3sin (t3– 1)
=
-9t4sin (t3– 1)
=
=
=
=
Contoh 4 : Tentukan turunan dari
fungsi implisit berikut x3y2 + 2x2y – x3
+ 1 = 0
Jawab :
( x3y2
+ 2x2y – x3 + 1) = 0
(3x2y2 + x32y ) + (4xy
+2x2 . 1 ) – 3x2 = 0
( x32y
+ 2x2) = 3x2 – 3x2y2 – 4xy
= ........................(1)
(3x2y2 + x32y ) + (4xy
+2x2 . 1 ) – 3x2 = 0
(3x2y2
+ x32y ) + 2(2xy + x2 ) – 3x2
= 0
= (3(2xy2 + x2 2y ) + (3x2
. 2y ))
+ x3(2.+ 2y ) + 2(2y +
2x )
+
2(2x +
x2)
– 6x = 0
= (6xy2 + 6x2 y ) + (6x2
y +
2x3()2
+ (2yx3 ) + (4y + 4x ) + (4x + 2x2) – 6x = 0
= (6x2y + 6x2y + 4x + 4x) + ()2
2x3 + (2yx3
2x2) + (6xy2 + 4y – 6x) = 0
(2yx3
2x2) = - (12x2y + 8 x) - 2x3()2
- 6xy2 – 4y + 6x
= ..........................(2)
Substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2 sehingga didapat
:
=
Latihan Soal :
1.
Carilah dari
:
a.
x2 + y2 = 25
b.
y
= ln t, x = et
c.
y = , x = ln (et +1)
2.
Carilah turunan
ke n dari fungsi di bawah ini:
a.
b.
3.
Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =
4.
Tentukan
turunan dari
fungsi implisit berikut y = arc sin (x – y)
Jawaban Latihan Soal
1.
Carilah dari
:
a.
x2 + y2 = 25
b.
y
= ln t, x = et
c.
y = , x = ln (et +1)
Penyelesaian :
a. Turunan pertama dari = x2 + y2 = 25, yaitu .
Karena
Dan mengingat y adalah fungsi
dari x, dengan aturan pembagian dan aturan rantai, diperoleh
Jadi
b.
Turunan dari y = ln t, x = et
=
=
=
Oleh karena dan maka
.
c.
Turunan dari y = , x = ln (et
+1)
= =
=
=
2. Carilah turunan
ke n dari fungsi di bawah ini:
a.
b.
Penyelesaian :
a.
Turunan ke-n
adalah
b.
Turunan ke-n
adalah
3.
Tentukan turunan kedua dan ketiga dari fungsi f(x) =
Jawab : Dikerjakan Mahasiswa sebagai latihan soal
4.
Tentukan
turunan dari
fungsi implisit berikut y = arc sin (x – y)
Comments
Post a Comment